Kaminski, Benjamin Lucien; (2019) Advanced weakest precondition calculi for probabilistic programs. Doctoral thesis (Ph.D), RWTH Aachen University.

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Abstract

Wir studieren die quantitative Analyse probabilistischer Programme. Dabei untersuchen wir vornehmlich zwei Aspekte: Die Analysetechniken selbst, sowie die komplexitäts- bzw. berechenbarkeitstheoretische Schwere der entsprechenden Analyseprobleme. In Bezug auf die Analysetechniken geben wir zunächst eine umfassende Einführung in den Kalkül der Schwächsten Vorerwartungen à la McIver & Morgan - ein Kalkül für die Verifikation probabilistischer Programme, der auf Dijkstras Kalkül der Schwächsten Vorbedingungen für Programme mit Nichtdeterminismus und Kozens Probabilistischer Dynamischer Aussagenlogik für probabilistische Programme aufbaut. Anschließend entwickeln wir weitergehende Kalküle für probabilistische Programme im Stile McIver & Morgans, welche dazu geeignet sind, Analysen über - erwartete Laufzeiten, - bedingte Erwartungswerte und bedingte Wahrscheinlichkeiten, und - Erwartungswerte von Zufallsvariablen mit gemischtem Vorzeichen zu fahren. Wie auch Dijkstras Kalkül sind unsere Kalküle induktiv über die Programmstruktur definiert und erlauben somit eine modulare Analyse auf Quelltextebene. Ein besonderes Augenmerk legen wir auf Regeln, welche die Analyse von Schleifen ermöglichen. Der zweite Aspekt, den wir untersuchen, ist die inhärente berechenbarkeitstheoretische Schwere der Analyse probabilistischer Programme, welche unabhängig von der verwendeten Analysetechnik selbst ist. Im Speziellen untersuchen wir dazu die Schwere der Approximation von Erwartungswerten und Kovarianzen. Wir zeigen, dass untere Schranken für Erwartungswerte nicht berechenbar, aber rekursiv aufzählbar sind, obere Schranken jedoch nicht rekursiv aufzählbar sind. Für Kovarianzen zeigen wir, dass weder obere noch untere Schranken rekursiv aufzählbar sind. Desweiteren untersuchen wir die Schwere der Entscheidbarkeit der Terminierung probabilistischer Programme. Während wir dazu zwar unterschiedliche Auffassungen eines probabilistischen Terminierungsbegriffs untersuchen, beispielsweise fast-sichere Terminierung oder Terminierung innerhalb endlicher erwarteter Zeit (auch positive fast-sichere Terminierung genannt), zeigen wir, dass die Terminierung probabilistischer Programme im Allgemeinen echt schwerer zu entscheiden ist als die Terminierung nicht-probabilistischer Programme. // We study quantitative reasoning about probabilistic programs. In doing so, we investigate two main aspects: The reasoning techniques themselves and the computational hardness of that reasoning. As for the former aspect, we first give a comprehensive introduction to weakest preexpectation reasoning à la McIver & Morgan - a reasoning technique for the verification of probabilistic programs that builds on Dijkstra's weakest precondition calculus for programs with nondeterminism and Kozen's probabilistic propositional dynamic logic for probabilistic programs. We then develop advanced weakest-preexpectation-style calculi for probabilistic programs that enable reasoning about - expected runtimes, - conditional expected values and conditional probabilities, and - expected values of mixed-sign random variables. As with Dijkstra's calculus, our calculi are defined inductively on the program structure and thus allow for compositional reasoning on source code level. We put a special emphasis on proof rules for reasoning about loops. The second aspect we study is the inherent computational hardness of reasoning about probabilistic programs, which is independent from the employed analysis technique. In particular, we study the hardness of approximating expected values and (co)variances. We show that lower bounds on expected values are not computable but computably enumerable, whereas upper bounds are not computably enumerable. For covariances, we show that neither lower nor upper bounds are computably enumerable. Furthermore, we study the hardness of deciding termination of probabilistic programs. While we study different notions of probabilistic termination, for instance almost-sure termination or termination within finite expected time (also known as positive almost-sure termination), we show that deciding termination of probabilistic programs is generally strictly harder than deciding termination of nonprobabilistic programs.

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